SISTEM PERSAMAAN NONLINEAR MENGGUNAKAN METODE NEWTON-RAPHSON

SISTEM PERSAMAAN NONLINEAR MENGGUNAKAN METODE NEWTON-RAPHSON

ABSTRAK

Persamaan non linier adalah persamaan yang mempunyai variabel berderajat lebih dari satu, ada perkalian antara variabel-variabelnya dan terdapat fungsi-fungsi matematika seperti fungsi aljabar, trigonometri, eksponensial, logaritma, dsb. Sedangkan sistem persamaan non linier merupakan kumpulan berhingga dari persamaan non linier. Salah satu cara penyelesaian sistem persamaan non linier adalah dengan menggunakan metode Newton Raphson, tetapi cara inipun masih cukup sulit bila dikerjakan secara manual karena sangat membutuhkan banyak perhitungan dalam proses iterasinya. Dalam karya tugas akhir ini penulis mencoba untuk membuat suatu program untuk meyelesaikan sistem persamaan non linier menggunakan metode Newton Raphson dengan 10 variabel dan bentuk persamaan dapat dimasukan secara bebas. Hasil akhir yang didapat dari karya tugas akhir ini adalah akar masing-masing variabel dari sistem persamaan non linier yang dimasukan.

Kata kunci : Sistem Persamaan, Tak Linear, Metode Newton-Raphson.

BAB 1
PENDAHULUAN

1.       Latar Belakang

Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik, dalam memandang permasalahan, terlebih dahulu diperhatikan apakah permasalahan tersebut mempunyai penyelesaian atau tidak. Hal ini menjelaskan bahwa tidak semua permasalahan dapat diselesaikan dengan menggunakan perhitungan biasa. Dalam permasalahan non-linier, terutama dalam permasalahan optimasi multivariabel. Biasanya tidak dapat diselesaikan secara analitik, sehingga diperlukan teori khusus dalam memudahkan perhitungannya.

Suatu permasalahan optimasi disebut non-linier jika fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk non-linier pada salah satu atau keduanya. Optimasi non-linier ditinjau dari pandangan matematis adalah topik lanjutan dan secara konsepsual, sulit untuk diselesaikan. Dibutuhkan pengetahuan aktif mengenai kalkulus, differensial dan aljabar linier. Kesulitan lain yang dihadapi, yaitu fungsi tujuan non-linier, yang tidak mempunyai nilai minimum serta mempunyai daerah penyelesaian dengan batas non-linier (tidak konvex). Secara umum tidak terdapat teknik penyelesaian yang terbaik, tetapi ada beberapa teknik yang mempunyai masa depan cerah dibandingkan yang lain. Banyak teknik penyelesaian optimasi non-linier yang hanya efisien untuk menyelesaikan masalah yang mempunyai struktur matematis tertentu.

 Hampir semua teknik optimasi non-linier modern mengandalkan pada algoritma numerik untuk mendapatkan jawabannya, dan dalam sistem persamaan nonlinear cara yang paling mudah menyelesaikan soal yaitu dengan menggunakan metode newton rapshon arena metode ini di anggap paling cepat dalam menyelesaikan soal dibandingkan dengam metode lainnya.

 menurut pendapat Chapra dan Canele (1996) menjelaskan walaupun metode Newton-Raphson sangat efisien, terdapat situasi dimana ia berjalan dengan buruk. Yakni bila menghadapi kasus dimana terdapat akar – akar ganda. Sedangkan menurut Luknanto (2000), metode Newton dapat konvergen dengan cepat sekali. Tetapi sayangnya metode ini tidak selalu konvergen. Biasanya masalah ketidak-konvergenan dari metode Newton dapat dihindari, atau dengan mengkombinasikan metode Newton dengan metode lain untuk mengatasi kelemahannya dan pada tahun (1996) newton menerapkan metode ini hanya untuk polinomial. Ia tidak menghitung perkiraan yang berurut dari xn, akhirnya Newton memandang metode ini semata – mata secara aljabar tanpa mampu mengaitkannya dengan kalkulus. Dan pada tahun (1690) rapshon , menerbitkan suatu uraian yang disederhanakan didalam Analisa Aequationum Universalis. Ia memandang metode Newton sebagai suatu metode secara aljabar dan membatasi penggunaannya ke polinomial.

2.       Rumusan masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, dapat diambil rumusan masalah sebagai berikut: Bagaimana penyelesaian sistem persamaan tak linier dengan Metode Newton- Raphson?

3.       Tujuan Penelitian

 Berdasarkan rumusan masalah dan batasan masalah maka tujuan penulisan sebagai berikut: Untuk mengetahui penyelesaian sistem persamaan tak linier dengan menggunakan metode Newton-Raphson.

4.       Manfaat penelitian

       a.  Bagi penulis

Menambah pengetahuan dan keilmuan tentang menentukan Prosedur selesaian sistem persamaan tak linier dengan metode Newton- Raphson.

b. Bagi pembaca

Membantu mempelajari dan memperdalam masalah penyelesaian sistem persamaan tak linier dengan metode Newton-Raphson.

BAB II

PEMBAHASAN

Sistem persamaan non linier adalah kumpulan dari dua atau lebih persamaan-persamaan non linier. Penyelesaian persamaan non-linear yaitu menghitung akar suatu persamaan non-linear dengan satu variabel x, f(x), atau secara umum dituliskan :  f(x) = 0  sedangkan  Metode Newton Raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut

Titik pendekatan ke n+1 dituliskan sebagai berikut:
 = -   
Dalam metode newton rapshon terdapat kelebihan dan kelemahan yaitu kelebihannya adalah:

Konvergensi yang dihasilkan lebih cepat
dan kelemahan nya adalah :

1.      Tidak  selalu menemukan akar (divergen)

2.      Kemungkinan sulit dalam mencari .

3.      Penetapan harga awal  yang sulit.

Metode Newton-Raphson ( umumnya disebut dengan metode Newton ) merupakan metode penyelesaian persamaan non-linear yang sering digunakan diantara metode lainnnya, karena metode ini memberikan konvergensi yang lebih cepat dibandingkan dengan metode lainnya. Metode Newton sering konvergen dengan cepat, terutama bila iterasi dimulai "cukup dekat" dengan akar yang diinginkan. Namun bila iterasi dimulai jauh dari akar yang dicari, metode ini dapat meleset tanpa peringatan. Implementasi metode ini biasanya mendeteksi dan mengatasi kegagalan konvergensi.
Metode Newton Raphson merupakan  metode yang paling dikenal untuk mencari hampiran terhadap akar fungsi riil dan dapat memecahkan persamaan f(x)=0,dengan f diasumsikan mempunyai turunan kontinu f’. Metode ini menggunakan suatu garis lurus sebagai hampiran fungsi. Garis tersebut adalah garis singgung pada kurva. Dengan menggunakan suatu nilai awal x_o dan ditetapkan x_i adalah titik potong sumbu x dengan garis singgung pada kurva f dititik x_o.maka Dalam setiap iterasi akan terbentuk x_i secara berulang-ulang hingga manghasilkan nilai X yang membuat f(x) = 0.

Metode ini pada prinsipnya menggunakan garis tangen. Dalam perkuliahan numerik (metode ataupun analisis) untuk tingkat sarjana, metode ini merupakan metoda utama yang sebaiknya diberikan sebagai materi perkuliahan. Selain dapat menyelesaikan akar real, metode ini juga bisa digunakan untuk akar kompleks ataupun pada sistem persamaan linear. Dengan beberapa alasan ini penulis akan mencoba menjelaskan beberapa modifikasi dari Metode Newton-Raphson ini khusus untuk menyelesaikan permasalahan akar ganda. Metode newton raphson merupakan salah satu metode terbuka untuk menentukan solusi akar dari persamaan non linier, dengan prinsip utama sebagai berikut :

1.      Metode ini melakukan pendekatan terhadap kurva f(x) dengan garis singgung ( gradien ) pada suatu titik nilai awal.

2.      Nilai taksiran selanjutnya adalah titik potong antara garis singgung ( gradien ) kurva dengan sumbu x.

Dalam penerapannya, formula iterasi Newton-Raphson memanfaatkan rumus Ekspansi Taylor. Misalnya untuk mencari akar-akar dari persamaan = 0 formula iterasi Newton-Raphson dituliskan sebagai : = x – diberikan nilai awal maka barisan  dapat dihitung dengan menggunakan :  (dipenuhi untuk ()   )

contoh soal

Sistem persamaan nonlinear yang diberikan adalah sebagai berikut:

2+𝑦−−10 =0

3+6𝑦−−25 =0

−5𝑦+ 6−4 =0

Langkah-langkah dalam menyelesaikan sistem persamaan nonlinear dengan metode Newton- Raphson adalah: Pertama menuliskan sistem persamaan nonlinear dengan menggunakan persamaan (2) diperoleh:

𝐹 𝑥,𝑦,𝑧 =2+𝑦−−10 =0

𝐺 𝑥,𝑦,z =3+6𝑦−−25 =0

𝐻 𝑥,𝑦,𝑧  =−5𝑦+ 6−4 =0

Kedua menentukan nilai tebakan awal untuk masing-masing variabel 𝑥, 𝑦, dan 𝑧, dimana dalam hal ini dipilih nilai tebakan awalnya  = 1 Kedua menentukan nilai tebakan awal untuk masing-masing variabel 𝑥, 𝑦, dan 𝑧, dimana dalam hal ini dipilih nilai tebakan awalnya

 𝐹 1,1,1 =2 +1− −10=−8

𝐺 1,1,1 =3 +6 −25=−17

𝐻 1,1,1 =−5(1)+ 6−4=−2

Setelah itu, mencari turunan dari ketiga fungsi sistem persamaan nonlinear untuk masing-masing variabelnya:

 = 4𝑥= 1                       = -2𝑥         

= 6x = 6                         = −2z

== −5                     = -12𝑧

Menghitung nilai turunan dari fungsi yang telah didapat dari langkah sebelumnya dengan menggunakan nilai tebakan awal, yaitu 𝑥=𝑦=𝑧=1, yaitu:

 = 4𝑥= 1                = -2𝑥 = -2 

= 6x = 6                = −2z = -2

== −5            = -12𝑧 = 12                       

Selanjutnya menentukan deviasi, maka tulis terlebih dahulu nilai turunan dari fungsi langkah sebelumnya beserta nilai fungsi sistem persamaan nonlinear dimana akan dibentuk matriks, diperoleh:    = -  

                                     =   =

didapatkan Δ=1.882813,Δ=1.046875 dan Δ=0.289063. Selanjutnya akan dihitung nilai pendekatan yang lebih tepat dari tebakan awal dengan menggunakan persamaan (3), didapatkan =2.882813,=2.046875,=1.289063. Nilai 𝑥𝑖,𝑦𝑖 dan 𝑧𝑖 yang sudah didapatkan dan akan dijadikan sebagai nilai awal untuk iterasi selanjutnya. Ulangi langkah kedua proses iterasi metode Newton -Raphson sampai mendapatkan nilai deviasi sekecil mungkin atau mendekati nol

BAB III

PENUTUP

C. KESIMPULAN
1.    Metode Newton Raphson adalah salah satu metode untuk penyelesaian persamaan non linier dimana metode ini merupakan metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan gradien pada titik tersebut.

2.    Metode Newton Raphson merupakan  metode yang paling dikenal untuk mencari hampiran terhadap akar fungsi riil dan dapat memecahkan persamaan f(x)=0,dengan f diasumsikan mempunyai turunan kontinu f.’

DAFTAR PUSTAKA

Heri, Sutarno & Racmatin Dewi. “Metode Numerik. Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Pendidikan Indonesia.

Ilmiadi. 2010. Solusi Sistem Persamaan Nonlinear dengan Metode Jacobian. http://lib.uin-malang.ac.id/thesis/fullchapter/05510006-ilmiadi.ps. di akses pada tanggal 5 Agustus 2012.

Mathews, John. H. 1992. “Numerical Methods”. Prentice-hall Internasioal,Inc

Nasha, Khutwatun. 2008. “Penyelesaian Sistem Persamaan Tak Linier Dengan Metode Newton-Raphson”.

http://lib.uin-malang.ac.id/thesis/fullchapter/03110240-khutwatun-nasiha.ps. diakses pada tanggal 19 September 2012.

Ru Munif, Abdul dan Prasetyoko, Aries Hidayatullah. 1995. Cara Praktis

Penguasaan dan Penggunaan Metode Numerik. Surabaya: Prima Printing.rres, Anton. 2004. Aljabar Linear Elementer Edisi 8 jilid 1”. Jakarta : Erlangga.

Anton, Howard. 1987. Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga.

C.Chapra Steven, P.C. Raymond. “METODE NUMERIK,jilid 1” : Mc GrawHill .1988.

D. Conte Samuel, Carl D. Boor. “ Dasar-dasarAnalisaNumerik “ : Mc GrawHill . 1980.